几个重要的不等式

一、Cauchy不等式及Schwarz不等式

a.Cauchy不等式

定理1:

设a_{i},b_{i}为任意实数(i=1,2,…,n)则(\Sigma_{i=1}^na_ib_i)^2\le\Sigma_{i=1}^na_i^2\Sigma_{i=1}^nb_i^2
其中等号当且仅当a_i与b_i成比例时成立。则上式称为Cauchy不等式。

b.Schwarz不等式

定理2:若f(x),g(x)在[a,b]上可积，则(\int_a^bf(x)g(x)dx)^2\le\int_a^bf^2(x)dx\int_a^bg^2(x)dx

若f(x),g(x)在[a,b]上连续，其中等号当且仅当存在常数\alpha,\beta，使得\alpha f(x)\equiv\beta g(x)时成立(\alpha,\beta不同时为零)

证明I：

将[a,b]n等分，令x_i=a+\frac{i}{n}(b-a),应用Cauchy不等式,(\frac{1}{n}\Sigma_{i=1}^nf(x_i)g(x_i))^2\le\frac{1}{n}\Sigma_{i=1}^nf(x_i)\cdot\frac{1}{n}\Sigma_{i=1}^ng(x_i)令n\rightarrow\infty取极限，即得到上述不等式

证明II:

\int_a^bf^2(x)dx\int_a^bg^2(x)dx-(\int_a^bf(x)g(x)dx)^2
=\frac{1}{2}\int_a^bf^2(x)dx\int_a^bg^2(y)dy+\frac{1}{2}\int_a^bf^2(y)dy\int_a^bg^2(x)dx-\int_a^bf(x)g(x)dx*\int_a^bf(y)g(y)dy
=\frac{1}{2}\int_a^bdy\int_a^b[f^2(x)g^2(y)+f^2(y)g^2(x)-2f(x)g(x)f(y)g(y)]dx
=\frac{1}{2}\int_a^bdy\int_a^b[f(x)g(y)-g(x)f(y)]^2dx\ge0

c.Schwarz不等式的应用

例：

设函数g(x)在[0,a]上连续可微，g(0)=0,试证：\int_0^a|g(x)g'(x)|dx\le\frac{a}{2}\int_0^a|g'(x)|^2dx
证明思路：
记f(x)=\int_0^x|g'(t)|dt,则f'(x)=|g'(x)|,由|g(x)-g(0)|=|\int_0^xg'(t)dt|\le\int_0^x|g'(t)|dt=f(x)
\int_0^a|g(x)g'(x)|dx\le\int_0^af(x)f'(x)dx=\frac{1}{2}f^2(x)|_0^a=\frac{1}{2}(\int_0^a1\cdot|g'(t)dt|)^2\le\frac{a}{2}\int_0^ag'(t)dt
故不等式成立

二、平均值不等式

a.基本形式

对任意n个实数a_i\ge0(i=1,2,…,n)恒有\sqrt[n]{a_1a_2…a_n}\le\frac{a_1+a_2+…a_n}{n}(即几何平均值\le算数平均值)，其中等号成立当且仅当a_1=a_2=…=a_n

例：

设正值函数f(x)在[0,1]连续，试证明：e^{\int_0^1\ln f(x)dx}\le\int_0^1f(x)dx

证：

\int_0^1f(x)dx=\lim_{||T||\to0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\frac{1}{n}\le\lim_{||T||\to0}(\prod_{i=1}^nf(\xi_i))^{\frac{1}{n}}\ \quad\\=e^{\ln(\lim_{||T||\to0}\prod_{i=1}^nf(\xi_i))^\frac{1}{n}}=e^{\frac{\lim_{||T||\to0}\sum_{i=1}^n\ln f(\xi_i)}{n}}=e^{\int_0^1\ln f(x)dx}

b.平均值不等式的推广形式

设a_1,a_2,…,a_n不全相等，则有a_1^{q_1}a_2^{q_2}…a_n^{q_n}<q_1a_1+q_2a_2+…+q_na_n（其中q_i>0,\sum q_i=1）
证明有点费劲 还是算了吧233333

三、H\ddot{o}lder不等式

设a_i,b_i\ge0,(i=1,2,…n).k,k’为实数:\frac{1}{k}+\frac{1}{k’}=1,则
当k>1(从而k’>1时)
\sum_{i=1}^na_ib_i\le(\sum_{i=1}^na_i^k)^{\frac{1}{k}}\cdot(\sum_{i=1}^nb_i^{k’})^{\frac{1}{k’}}
当k<1(从而k'<1时)
\sum_{i=1}^na_ib_i\ge(\sum_{i=1}^na_i^k)^{\frac{1}{k}}\cdot(\sum_{i=1}^nb_i^{k’})^{\frac{1}{k’}}
其中等号成立当且仅当a_i与b_i成比例\exists\alpha,\beta不全为零使得\alpha a_i^k=\beta b_i^{k’}(i=1,2,…,n)时成立

注：当k=k’=2时，为柯西不等式。

证明：

1）当k>1时，
\frac{\sum a_ib_i}{(\sum a_i^k)^{\frac{1}{k}}\cdot(\sum b_i^{k’})^{\frac{1}{k’}}}=\sum_i (\frac{a_i^k}{\sum a_i^k})^{\frac{1}{k}}(\frac{b_i^{k’}}{\sum b_i^{k’}})^{\frac{1}{k’}}\\\le\sum_i[\frac{1}{k}(\frac{a_i^k}{\sum a_i^k})+\frac{1}{k’}(\frac{b_i^{k’}}{\sum b_i^{k’}})]\\=\frac{1}{k}\sum\frac{a_i^k}{\sum a_i^k}+\frac{1}{k’}\sum\frac{b_i^{k’}}{\sum b_i^{k’}}=\frac{1}{k}+\frac{1}{k’}=1
2）当k<1时，注意到k'(1-k)+k=0，故
\sum a_i^k=\sum a_i^kb_i^{k+k'(1-k)}=\sum(a_ib_i)^k(b_i^{k’})^{1-k}
由上式 1)将(a_ib_i)^k,(b_i^{k’})^{1-k},\frac{1}{k},\frac{1}{1-k}分别看作(1)式中的a_i,b_i,k,与k’则得到\sum a_i^k\le(\sum a_ib_i)^k(\sum b_i^{k’})^{1-k}，
故(\sum a_i^k)^{\frac{1}{k}}\le\sum a_ib_i\cdot(\sum b_i^{k’})^{\frac{1-k}{k}}=\sum a_ib_i\cdot(\sum b_i^{k’})^{-\frac{1}{k’}}且不等式中的等号当且仅当a_i^k与b_i^{k’}成比例时才成立